Introducción al Control Predictivo

El control predictivo tiene como objetivo resolver de forma efectiva, problemas de control y automatización de procesos industriales que se caractericen por presentar un comportamiento dinámico complicado, multivariable, y/o inestable. La estrategia de control en que se basa este tipo de control, utiliza el modelo matemático del proceso a controlar para predecir el comportamiento futuro de dicho sistema, y en base a este comportamiento futuro puede predecir la señal de control futura.

El control predictivo integra disciplinas como el control óptimo, control estocástico, control de procesos con retardo de tiempo, control multivariable, control con restricciones.

El tipo de control predictivo tratado, es el Control Predictivo Basado en Modelo (CPBM), conocido también como Model Based Predictive Control (MBPC) o simplemente Model Predictive Control (MPC). Esta estrategia también se conoce como control por horizonte deslizante, por ser ésta la forma en la que se aplican las señales de actuación. Existen muchos algoritmos de control predictivo que han sido aplicados con éxito:

El control predictivo basado en modelo se puede definir como una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita de un modelo matemático interno del proceso a controlar (modelo de predicción), el cual se utiliza para predecir la evolución de las variables a controlar a lo largo de un horizonte temporal de predicción especificado por el operador, de este modo se puede calcular las variables manipuladas futuras (señal de control futura) para lograr que en dicho horizonte, las variables controladas converjan en sus respectivos valores de referencia.

El MPC se enmarca dentro de los controladores óptimos, es decir, aquellos en los que las actuaciones responden a la optimización de un criterio. El criterio a optimizar, o función de coste, está relacionado con el comportamiento futuro del sistema, que se predice gracias a un modelo dinámico del mismo, denominado modelo de predicción.

El intervalo de tiempo futuro que se considera en la optimización se denomina horizonte de predicción. Dado que el comportamiento futuro del sistema depende de las actuaciones que se aplican a lo largo del horizonte de predicción, son éstas las variables de decisión respecto a las que se optimiza el sistema.

La aplicación de estas actuaciones sobre el sistema conduce a un control en bucle abierto.

La posible discrepancia entre el comportamiento predictivo y el comportamiento real del sistema crean la necesidad de imponer cierta robustez al sistema incorporando realimentación del mismo. Esta realimentación se consigue gracias a la técnica del horizonte deslizante que consiste en aplicar las actuaciones obtenidas durante un periodo de tiempo, tras el cual se muestrea el estado del sistema y se resuelve un nuevo problema de optimización. De esta manera, el horizonte de predicción se va deslizando a lo largo del tiempo.

Una de las propiedades más atractivas del MPC es su formulación abierta, que permite la incorporación de distintos tipos de modelos de predicción, sean lineales o no lineales, monovariables o multivariables, y la consideración de restricciones sobre las señales del sistema. Esto hace que sea una estrategia muy utilizada en diversas áreas del control. El CPBM es una de las pocas técnicas que permiten controlar sistemas con restricciones incorporando éstas en el propio diseño del controlador.

Estas características han hecho del control predictivo una de las escasas estrategias de control avanzado con un impacto importante en problemas de ámbito industrial Por tal motivo es importante resaltar que el control predictivo se ha desarrollado en el mundo de la industria, y ha sido la comunidad investigadora la que se ha esforzado en dar un soporte teórico a los resultados prácticos obtenidos.

Merece la pena destacar que el control predictivo es una técnica muy potente que permite formular controladores para sistemas complejos y con restricciones. Esta potencia tiene un precio asociado: el coste computacional y la sintonización del controlador. Recientes avances en el campo del MPC proveen un conocimiento más profundo de estos controladores, obteniéndose resultados que permiten relajar estos requerimientos. Así por ejemplo, se han establecido condiciones generales para garantizar la estabilidad (Mayne 2001), condiciones bajo las cuales se puede relajar el carácter optimal del controlador garantizando su estabilidad (Scokaert & Mayne 1998).

Ventajas e desventajas del Control Predictivo

Elementos del Control Predictivo

Hay una serie de elementos comunes a todos los controladores predictivos:

• El uso de un modelo matemático del proceso que se utiliza para predecir la evolución futura de las variables controladas sobre un horizonte de predicción.
• La imposición de una estructura en las variables manipuladas futuras.
• El establecimiento de una trayectoria deseada futura, o referencia, para las variables controladas.
• El cálculo de las variables manipuladas optimizando una cierta función de costo.
• La aplicación del control siguiendo una política de horizonte móvil.

Los modelos internos que se usan para predecir el comportamiento del sistema pueden ser de diversos tipos: Función de transferencia, Respuesta al impulso, Respuesta al escalón, Espacio – Estado.

Modelo de Predicción

Esta representado por el modelo matemático que describe el comportamiento dinámico del sistema. Las ecuaciones físicas del sistema conjuntamente con las incertidumbres del mismo pueden ser expresadas en el mismo modelo.

Este modelo puede ser lineal, no lineal, en tiempo continuo, en tiempo discreto, puede estar expresado en función de transferencia o en ecuaciones de estado, puede ser multivariable o monovariable.

Una consideración que deben tener, consiste en que el origen debe ser el punto de equilibrio en el que se quiere regular el sistema, lo cual se puede conseguir con un cambio de variables.

Debido a que el controlador predictivo es generalmente implementado por un computador, esto requiere que el modelo del sistema se encuentre expresado en tiempo discreto, de la forma:

xk+1 = f(xk, uk)

Donde Xk+1 son los estados en el tiempo (k+1), Xk, son los estados en el tiempo (k), Uk el la señal de control.

Como la predicción depende además de la secuencia de actuaciones aplicadas desde el instante (k) hasta el instante (k + j), y por lo tanto futuras. A lo largo de esta tesis, se denota x(k + j|k) al estado del sistema predicho en el instante (k + j) a partir del estado conocido en el instante (k). Por lo tanto:

x(k + j + 1|k) = f( x(k + j|k), u(k + j|k) )

Donde x(k|k) = Xk. son los estados del sistema.

Función de Coste

Es aquella función definida positiva, que expresa el criterio a optimizar, es decir el coste asociado a un determinado comportamiento del sistema a lo largo del horizonte de predicción. Tiene la siguiente estructura:

J_N (X_K , U_F (k)) = ^{N – 1}Σ_{i = 0} L(x(k + i|k) , u(k + i|k)) + V(x(k + N|k))

Donde L(x,u) es la función de coste de etapa, V(x) es la función de coste terminal. Ambas funciones son definidas positivas.

La señal de control que se aplicaría durante el horizonte de predicción N, esta dado por:

U_F (k) = {u(k|k) , u(k + 1|k) … u(k + N^-1|k)}

Restricciones

Las restricciones indican los límites dentro de los cuales debe transcurrir la evolución de las señales que rigen el comportamiento del sistema. Estas fronteras se rigen por límites físicos, por razones de seguridad, por conveniencias económicas, etc.

Las restricciones se expresan como conjuntos X y U, cerrados y acotados, y deben pertenecer al sistema para todo instante de tiempo de trabajo.

U(k + j|k) Î U j = 0, 1, … N-1

X(k + j|k) Î X j = 0, 1, … N-1

Si se desea poner un límite (Â) en el extremo final del horizonte de predicción, se expresaría de la forma: X(k + N|k) Î Â